раздел математической статистики, посвященный методам обработки и использования статистических данных, касающихся
случайных процессов (См.
Случайный процесс) (т. е. функций
X (
t) времени
t, определяемых с помощью некоторого испытания и при разных испытаниях могущих в зависимости от случая принимать различные значения). Значение
x (
t) случайного процесса
X (
t), получаемое в ходе одного испытания, называется реализацией (иначе - наблюдённым значением, выборочным значением или траекторией) процесса
X (
t); статистические данные о
X (
t), используемые при статистическом анализе этого процесса, обычно представляютсобой сведения о значениях одной или нескольких реализаций
x (
t) в течение определенного промежутка времени или же о значениях каких-либо величин, связанных с процессом
X (
t) (например, о наблюденных значениях процесса
Y (
t), являющегося суммой
X (
t) и некоторого "шума"
N (
t), созданного внешними помехами и ошибками измерения значений
x (
t)). Весьма важный с точки зрения приложений класс задач С. а. с. п. представляют собой задачи обнаружения сигнала на фоне шума, играющие большую роль при радиолокации. С математической точки зрения эти задачи сводятся к статистической проверке гипотез (См.
Статистическая проверка гипотез): здесь по наблюденным значениям некоторой функции требуется заключить, справедлива ли гипотеза о том, что функция эта является реализацией суммы шума
N (
t) и интересующего наблюдателя сигнала
X (
t), или же справедлива гипотеза о том, что она является реализацией одного лишь шума
N (
t). В случаях, когда форма сигнала
X (
t) не является полностью известной, задачи обнаружения часто включают в себя и задачи статистической оценки (См.
Статистические оценки) неизвестных параметров сигнала; так, например, в задачах радиолокации очень важна задача об оценке времени появления сигнала, определяющего расстояние до объекта, породившего этот сигнал. Задачи статистической оценки параметров возникают и тогда, когда по данным наблюдений за значениями процесса
X (
t) в течение определённого промежутка времени требуется оценить значения каких-то параметров распределения вероятностей
случайных величин
X (
t) или же, например, оценить значение в фиксированный момент времени
t = t1 самого процесса
Х (
t) (в предположении, что
t1 лежит за пределами интервала наблюдений за этим процессом) или значение
y (
t1) какого-либо вспомогательного процесса
Y (
t), статистически связанного с
Х (
t) (см.
Случайных процессов прогнозирование). Наконец, ряд задач С. а. с. п. Относится к числу задач на
Непараметрические методы статистики; так обстоит дело, в частности, когда по наблюдениям за течением процесса
X (
t) требуется оценить некоторые функции, характеризующие распределения вероятностей значений этого процесса (например, плотность вероятности величины
Х (
t), или корреляционную функцию E
x (
t)
X (
s) процесса
Х (
t), или, в случае стационарного случайного процесса (См.
Стационарный случайный процесс)
X (
t), его спектральную плотность
f (
λ)
При решение задач С. а. с. п. всегда требуется принять те или иные специальные предположения о статистической структуре процесса X (t), т. е. как-то ограничить класс рассматриваемых случайных процессов. Очень ценным с точки зрения С. а. с. п. является допущение о том, что рассматриваемый процесс X (t) является стационарным случайным процессом; при этом допущении, зная значения единственной реализации x (t) в течение промежутка времени 0 ≤t ≤ T, можно уже получить целый ряд статистических выводов о вероятностных характеристиках процесса X (t). В частности, среднеарифметическое значение
в случае стационарного случайного процесса
X (
t) при весьма широких условиях является состоятельной оценкой математического ожидания
Ex (
t) =
m (т. е.
сходится при
Т →∞ к истинному значению оцениваемой величины
m); аналогично этому выборочная корреляционная функция
,
где τ > 0, при широких условиях является состоятельной оценкой корреляционной функции B (τ)=Ex (t) X (t + τ).
Однако
Фурье преобразование функции
- так называемая периодограмма
IT (λ) процесса
X (
t) - уже не представляет собой состоятельной оценки спектральной плотности
f (λ), являющейся преобразованием Фурье функции
В (τ); при больших значениях
Т периодограмма
IT (λ) ведёт себя крайне нерегулярно и при
Т → ∞ она не стремится ни к какому пределу. Поэтому С. а. с. п. включает в себя ряд специальных приёмов построения состоятельных оценок спектральной плотности
f (λ) по наблюдённым значениям одной реализации стационарного процесса
X (
t), большинство из которых основано на использовании сглаживания периодограммы процесса по сравнительно узкой области частот λ.
При исследовании статистических свойств оценок вероятностных характеристик стационарных
случайных процессов очень полезными оказываются дополнительные допущения о природе
X (
t) (например, допущение о том, что все конечномерные распределения значений процесса
X (
t) являются нормальными распределениями вероятностей). Большое развитие получили также исследования по С. а. с. п., в которых предполагается, что изучаемый
процесс X (
t) является марковским процессом (См.
Марковский процесс) того или иного типа, или компонентой многомерного марковского процесса, или компонентой многомерного процесса, удовлетворяющего определённой системе стохастических дифференциальных уравнений.
Лит.: Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения, пер. с англ., в. 1-2, М., 1971-72; Хеннан Э., Анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1964; его же, Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974: Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы), М., 1974.
А. М. Яглом.